Pokus o vysvětlení Poincarého domněnky

Dostala jsem dotaz, proč byla Poincarého domněnka považována za problém tisíciletí a čím je vlastně tak "úžasná", že za její vyřešení byl Grigorij Perelman oceněn Fieldsovou medailí. Dotyčný si totiž přečetl znění té domněnky na Wikipedii a nebyl z toho moc moudrý. Poincarého domněnka doslovně zní:

"Každá kompaktní třídimenzionální varieta, která je jednoduše souvislá, je topologicky stejná (homeomorfní) s třídimenzionální sférou (3-sférou)."

No. Tohle sice není zrovna můj obor, ale rozumím těm pojmům ve větě, takže se pokusím k tomu něco říct. Proč tedy byla Poincarého domněnka považována za problém tisíciletí a proč byl Grigorij Perelman za její vyřešení tak oceňován?

Poincarého domněnka je matematická otázka o tvaru našeho prostoru. Konkrétně říká, že pokud máte určitý typ třírozměrného prostoru (matematici tomu říkají "kompaktní a jednoduše souvislá 3-varieta"), tak tento prostor je vlastně stejný jako obyčejná 3-sféra. A co je 3-sféra? Je to povrch 4-rozměrné koule. Je to něco podobného, jako když 2-rozměrné stěny tvoří povrch 3D krychle. S nadsázkou bychom mohli říct, že náš celý prostor, ve kterém žijeme, by mohl být povrchem 4D objektu, který je ukrytý kdesi "pod ním". Něco jako ta analogie s mravenci, kteří žijí na povrchu balónku.

Problém spočíval v tom, že nikdo nevěděl přesně, jestli je to pravda a trvalo víc než sto let, než Grigorij Perelman přišel s důkazem, jak to ukázat. Můžeme si trochu více přiblížit i některé pojmy.

Co znamená "jednoduše souvislá varieta"?
Varieta je zjednodušeně "prostor". "Souvislá" pak znamená, že prostor je "jeden celek" (v angličtině tomu odpovídá výraz "connected"). Prostor se jednoduše nedá rozdělit na dvě a více oddělených částí.

"Jednoduše souvislá (simply connected)" pak znamená, že prostor nemá ani žádné "díry" – kdybyste v prostoru udělali pomyslnou smyčku, vždy by se dala stáhnout do jednoho bodu bez toho, aby vám něco překáželo. Například, koule je jednoduše souvislá, protože kdybyste po jejím povrchu tahali smyčku, vždy by se vám stáhla do jednoho bodu. Ale tvar jako kobliha (torus) má díru uprostřed, takže jedná se sice o prostor souvislý, ale ne jednoduše souvislý. Pro torus tedy Poincarého domněnka neplatí.

Proč to bylo tak těžké?
Protože prostor je složitý a ukázat, že jednoduše souvislý prostor je vlastně to samé co povrch 4D objektu, je velmi složité. No a Perelman našel přesné matematické nástroje, jak to ověřit.

Co to má společného s naším světem?
Náš fyzický prostor je 3D a současná pozorování zatím silně naznačují, že je i souvislý a bez děr. Je tedy jednoduše souvislou varietou a platí pro něj Poincarého domněnka. Existuje tedy dost velká šance, že žijeme na povrchu 4D objektu. Potvrzení Poincarého domněnky tak vlastně představuje důležitý krok v porozumění prostoru, což má velký vliv zejména na fyziku a kosmologii.

Nicméně, je tu jeden nedořešený problém. My stále neumíme s jistotou říct, jaký přesný tvar má celý náš vesmír. Víme sice, že je s největší pravděpodobností bez děr a souvislý, ale abychom mohli skutečně potvrdit, že žijeme na jakémsi povrchu 4D objektu, je nutné dokázat další dvě věci - jestli má vesmír nějaké hranice a jestli je konečný nebo ne. Bez toho se dál v pochopení "co je prostor" nedostaneme.

Poznámka na závěr: Když říkáme, že "náš prostor je 3D," myslíme tím čistě geometrický prostor bez času. "Čtyřrozměrný prostor" je pouze koncept vyplývající z teorie relativity, ale z hlediska topologie je náš vesmír stále pouze třírozměrný.
(Taky se omlouvám všem matematikům za některá zjednodušení, ale věřím, že kvůli co největší srozumitelnosti byla nezbytná.)